指数法則 （12/8）

どうも、今回は指数法則です。


累乗数 （るいじょうすう）とは、他の自然数の累乗になっている自然数、 すなわち、m^k（m, kは自然数でk≥ 2）の形の数を指す。


昨日はさらっと流してしまったんですが、

「3^1」これは指数が2以下なので累乗数じゃないですね。

ところで、

3^4＝3×3×3×3＝81
3^3＝3×3×3＝27
3^2＝3×3＝9
3^1＝？？？

3^4は3を4回掛け合わせるということですが、3^1は同じようにいけば3を1回掛け合わせるという事になりますね。


さて、3を一回掛け合わせるとは？どういうことでしょうか?
ここで指数法則を使うのです。

指数法則とは

ｎ^a×ｎ^ｂ＝ｎ^（ａ＋ｂ）

↑のような法則の事です。

例をあげると、

2^2×2^3＝2^2＋3＝2^5
になりますね。
実際に値で計算すると、
（2×2）×（2×2×2）＝2×2×2×2×2
4×8＝32
32＝32

と、なり確かに成り立ちますね
もう一つ例にあげると
4＾2×4^4＝4^2＋4＝4^6
（4×4）×（4×4×4×4）＝4×4×4×4×4×4
16×256＝4096
4096＝4096


この指数法則から行くと3^1×3^2＝3^1＋2＝3^3
つまり、3^1×9＝27
という事になります。3^1に9をかけると27になる。

方程式を使うと、ｘ＝3^1、とおく。
9ｘ＝27
ｘ＝3
3^1＝3

このことから3^1が3だという事が求められます。


では、新たな疑問です。3^0の値はなにか？
ここでも、指数法則を使います。

3^0×3^2＝3^0＋2＝3^2
3^0×9＝9

となり、また方程式を使うと、
ｘ＝3^0とおく。
9ｘ＝9
ｘ＝1


3＾0＝1









キターーーｗｗ!!!!!!!



3^0＝1、この事実についてどう思いますか？
3を0回掛け合わせたものは1になる。

スゲーｗｗｗｗｗｗｗ！！！！！！！！


では、次回は3^（1/2） （3のにぶんのいち乗） について話します。3を二分の一回掛け合わせる・・・・

考えてみてください。



追記：みなさん、コメントいつもありがとうございます。

ミルカさん＞因数分解の問題Thanks
とりあえず剰余定理にチャレンジしてみます。

きぃ＞コメントにあったけど、
ひなこはうちの学校の同級生ね。


Ｑ，Ｅ，Ｄ，

累乗数 （12/7）

今日はある事情があり、テストがありました。数学はかなりいけそうですが、理科が多分恐ろしく悪いです・・・・

まあ、それはさておき、そこで面白い問題があったので紹介します。累乗数に関する問題だったんですが


累乗数 （るいじょうすう）とは、他の自然数の累乗になっている自然数、 すなわち、m^k（m, kは自然数でk≥ 2）の形の数を指す。


↑が累乗数の定義です。

さて、どういう問題がでたかというと、

「3^53の一の位を求めよ。」
との問題でした。


（今まで普通に使ってましたけど３^53っていうのは３の53乗って意味ですから(^_^;)）

３を５２回掛け合わせた数の一の位を求める・・・これはどうすればいいかというと、単純に計算していては時間が足りませんし、第一計算できるわけがありません。（電卓も使えませんし）

ではどうやって解いたかというと、規則性を見つけるんです。
まず、

3^1＝3
これは当たり前ですね。
3^2＝9
こもまだぜんぜん楽勝です。
3^3＝27
まだ暗算でいけます。
3^4＝81
まだまだいけます
3^5＝243
数が大きくなりましたね。（僕はここで規則性を見つけました）
3^6＝729
規則性が見えてきそうです。
3^7＝2187
見えてきましたね。
3^8＝6561
おわかりでしょうか？
3^9＝19683
そろそろめんどくさくなってくるのでやめますね

一の位だけを見ると、
指数 一の位

1→ 3
2→ 9
3→ 7
4→ 1
5→ 3
6→ 9
7→ 7
8→ 1
9→ 3

（テストでここまで書き出したわけじゃありませんが説明のためここまで書き出しました。）

さて、規則性が見えましたね。3、9、7、1、
まあ、考えてみればこれは当たり前のことですが。

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では，一の位が3の時、指数はどう表せるか。
規則にのっとると、指数が、1,5,9、13、17、21のときです。
つまり指数が4ｎ＋1の時一の位は3です。

同じようにしていくと、
一の位が9の時、指数は4ｎ＋2。
一の位が7の時、指数は4ｎ＋3
一の位が1の時、指数は4ｎ

とあらわせます。

では53は上のどれに当てはまるかというと、
53は4で割ると、1あまるので、4ｎ＋1のパターンに当てはまりますね。

これでわかるとおり3^53の一の位は、3です。

この規則を使えば、３^271828189845904523536の一の位の数とかも求められるわけです。４でわってあまりさえもとめればわかるわけです。すごくないですか?これもまた！数学すげぇー！とか思いませんか？

この問題は、3の累乗数だけでなく、他の累乗数でも規則性が見つかります。

では今日はここまで。

Ｑ，Ｅ，Ｄ，

連続する自然数の和 （12/6）

どうも、最近は健康を気遣い野菜ジュースにはまってる管理人です。
今回は「連続する自然数の和」ということなんですが、例えば

①「1から10までの自然数の和はいくつになるか？」
これは、下の式を解けばいいだけですね。

1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10
＝55


次は、

②「1から100までの自然数の和はいくらになるか？」

1＋2＋3＋4＋5・・・・・・96＋97＋98＋99＋100
＝？


①の問題は暗算でも解けそうなんですが、②は難しいでしょう。この話にはガウスという昔の有名な数学者が関わるんですが、
天才ガウスは少年時代に②の問題を一瞬で解いてしまったという話があるそうです。どうやって解いたのか？いくらガウスといえど
これを単純に暗算して一瞬で答えを出すなど不可能でしょう。

さて、これをどう解いたか？ということです。
まず、式を見ると、

1＋2＋3＋4＋＋5・・・・・96＋97＋98＋99＋100
こうですね。
左の「1＋2＋3＋4＋5・・・」と、
右の「96＋97＋98＋99＋100」
をみて、何か気づくことはないでしょうか?

一番外側の1と100の和は？
その一つ内側の2と99の和は?
そのまた一つ内側の3と98の和は?

（1＋100）＋（2＋999）＋（3＋998）＋・・・・・（50＋51）

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そうです。すべて101になります。
こうして101が大量生産されていくわけです。
では、いくつの101ができるのか？というと、
50＋51の組までですね。よって101が50個できるわけです。
という事はその101と50の積は1～100の和と等しいという事です。

では、1～1000の和は？というと、これもまた、

1＋2＋3＋4＋5＋・・・・9997＋9998＋9998＋9999＋10000
（1＋10000）＋（2＋9999）＋（3＋9998）・・・（500＋501）

こうですね。今までの事を整理すると連続する整数の和を求める時には、
「もっとも大きな数に1をたしたものにもっとも大きな数の半分をかければよい」
という事がいえます。
よって500500になります。

では、

「「1≦ｎ」の範囲の中にある自然数の和は?」
（ただし、ｎは自然数で1≦ｎ）

（ちょっと難しく書きましたが、1～ｎ間の中にある全ての自然数の和は？ただしｎは自然数で1以上っていう条件付きだよ。って意味です）


これも同じように解けます。上記の文から一般化すると

1＋2＋3＋・・・（ｎ－2）＋（ｎ－1）＋ｎ
＝（1＋ｎ）＋｛（ｎ－1）＋2｝＋・・＋｛ｎ/2＋（ｎ/2＋1）｝
＝（ｎ＋1）×ｎ/2
＝ｎ（ｎ＋1）/2
＝（ｎ＾2＋ｎ）/2

確かめとして、ｎ＝1000を代入すると、

（1000^2＋1000）/2
＝1000000＋1000/2
＝1001000/2
＝500500

成り立ちますね。
よって、たとえ、1～61でも1～150でもさっきの（ｎ^2＋ｎ）/2
に代入すれば大幅な時間削減できるという事です。


では、今日はここまでです。


Ｑ，Ｅ，Ｄ，

ユークリッドの互除法 （12/5）

ユークリッドの互除法
さて、ユークリッドとは実在する人物の名前なんだけれど、ユークリッドの生涯については、詳しいことはほとんど分かっていないらしいです。


【公約数について】

　例えば、３０と４５の約数は、

３０の約数・・・１、２、３、５、６、１０、１５、３０
４５の約数・・・１、３、５、９、１５、４５

ですから、２つの約数のうち共通の｢１、３、５、１５｣の４つの数字が３０と４５の公約数となります。
また、公約数のうち最大の約数を最大公約数といい、この場合１５となります。ここで、最大公約数を求めるときに、いまのように１つ１つ約数を取り上げて比べていくのではなく、もっと簡単に求める方法があります。その方法がユークリッドの互除法です。


【ユークリッドの互除法について】

　これは前述の「原論」の第７章にやや異なった形で述べられていますが、それはユークリッドよりも１００年ほど前にすでに発見されていたと伝えられているそうですよ。

【ユークリッドの互除法】

２つの整数aとbについて、

a をb で割った余りをr1 　(b >r1)
b をr1で割った余りをr2 　(r1>r2)
r1をr2で割った余りをr3 　(r2>r3)
　　・・・・・・・・・・
としていくと、r1>r2>r3･････≧0 となって余りはいつか0になる。

そこで余りが○>□となって、○が□で割り切れたとすると、□が最大公約数である。

もうちょっと一般化していうと、２つの整数aとbがあり、aがbで割り切れないとき、kを任意の整数として、aとbの最大公約数はa+bkとbの最大公約数に等しいということです。


それでは、６０と１６８の最大公約数をこの方法で求めてみることにします。

１６８÷６０＝２ 余り ４８
　６０÷４８＝１ 余り １２
　４８÷１２＝４ 余り 　０ →　４８が１２で割り切れるので、１２が６０と１６８の最大公約数となる。

ユークリッドの互除法を使うと、いつか必ず割り切れて、そのときの割った数が最大公約数となります。
（ユークリッドの互除法はＮ桁の数に対して５Ｎ回以内で終了することがわかっています。）

でも、なぜこんなにも簡単に最大公約数が求まるのか不思議ですね？どうしてこうなるのかは説明が難しくなりますが下記の通りです。（わからない人はとばしてもいいでしょう）


【互除法の原理の証明】

２つの整数aとbの最大公約数をＧとおくと、a=a'Ｇ，b=b'Ｇ(a'とb'は互いに素(注))とおける。
（注；互いに素とはa'とb'の公約数が1以外にはないということ。）
同様に、bとrの最大公約数の最大公約数をＧ'とおくと、b=b''Ｇ'，r=r'Ｇ'となる。

このことを以下の①～③で利用して考えてみる。

① aをbで割ったときの商をq，余りをrとすると、a=bq+r (0≦r　 r=a-bq となる。
　ここで、２つの整数aとbは、a=a'Ｇ，b=b'Ｇとおけるから、
　 r=a'Ｇ-b'Ｇq=(a'-b'q)Ｇと表せる。

　すなわち、r=r'Ｇ'であることから、ＧはＧ’の約数である。

② b=b''Ｇ'，r=r'Ｇ'より、a=bq+r=b''Ｇ'q+r'Ｇ'=(b''q+r')Ｇ'となる。

　すなわち、a=a'Ｇ であることから、Ｇ’はＧの約数である

③ ①と②が同時に成り立つので、Ｇ＝Ｇ’である。

以上のことをもう少し簡単に表現すると、aをｂで割ったときの余りrは、aとbの最大公約数を因数にもつ。言いかえると

『aとbの最大公約数はbとrの最大公約数と考えてよい。』ことがわかります。


この証明は、いわゆる｢必要十分条件｣という考え方から導かれる証明法で、なかなか説明して理解させるのに苦労します。しかも、aやらbやらたくさんの文字を使用するので、読むのさえ苦労することでしょう。



それでは３００７と１６４９の最大公約数をユークリッドの互除法を使って求めてみましょう。！！とてもじゃないけれど最初にしたように２つの数のそれぞれの約数を並べて比較するなんて大変ですよね？ユークリッドの互除法（先人の知恵）のありがたさをつくづく感じてしまいます．．．

（答えは９７となります。）



↑の文章が理解できないという人は、↓にわかりやすい説明を載せました。２数を割られる数、割る数とすると、


割られる数÷わる数＝あまり①
わる数÷あまり①＝あまり②
あまり①÷あまり②＝あまり③
あまり②÷あまり③＝0

あまり③が最大公約数。


つまりはこういうことです。

Ｑ，Ｅ，Ｄ

弦の性質 （12／4）

昨日の記事についてだけど、142857というようなかけると数がずれていくような数をダイアル数というようです。
自分も勉強になった・・・(●´_ゝ`)

ほかにもこのような数は、他に0588235294117647（頭に0を付けた方が効率が良い）、052631578947368421、0434782608695652173913等があるんだって。

（実際には自分でやってね。めんどいんで。）


たしかにおもしろいけれども、
こう言うことを研究してる人って・・・・・・
ちょっとさすがにひきますね。これは。

話はそれますが何で僕がこんなにも数学が好きになったかというとね、まあ、算数が得意だったという事もあるだろうけど僕が小6の時に方程式を使う文章題を解いてたんすよ。とはいっても方程式を使わずに鶴亀算とかニュートン算とかを使って解くやつね。
それは式を組み立てるのも文章の意味を考えなければならなく、
難しいだよね。で、僕も全然正答率が悪くて、あんまりできなかったんです。それでまあ、そういうのはできないけど来年中学だし、予習すっか。ってことで予習してたんですよ。まず、正負の数の加減乗除でつまずきましたね。
。マイナスを引くってどういうことよ！?ﾊｧ?
何でマイナスかけるマイナスがプラスなんだよ！？
ふざけんじゃね～！！
って感じで・・・・・

こういうのは単純にマイナスかけるマイナスはプラス。
理由？そんなのそうなるからにきまってんだろ！というように
理由を考えなければ簡単にマスターできただろうけど、そういうのはきにくわなくてね。まあ、その後は頑張って意味を理解できたんだけど、その後の文字式は大丈夫だったね。で、その次の方程式なんだけれども、



「すげ～！！！！やべぇ、ちょｗ
なにこれｗｗ考えた人天才ｗｗｗｗ」


感動しました。今までにないくらい。苦労して頑張っても解けない問題が、機械的な単純作業をするだけで答えが求められる・・・・・。このことがあってから僕は数学好きになったね。
その後はだいたいスムーズに行ったし、わからないところは数学掲示板で質問したりして予習してたら（ほとんど趣味だけど）いつのまにか今では問題集には因数分解の文字がｗｗ
「ちょｗやりすぎたｗｗ」
とか思ってたけどおもしろくてやめられなかったね。
でも、今は複雑な因数分解ができなくてつまづいているんだけども・・・・だれか、4x^2＋16ｘ＋9の因数分解のやり方教えてください！


で、まぁ最近数検を受けるようになって、4級にうかりました。
来年の四月にもまたあるんですけどそこでは3級か準2級を受けたいとおもってるところです。



・・・とまあ、話がそれてしまったんですけども、

弦の性質です。弦。
まず、弦とはなにか？というと、「円周上の2点を結ぶ線分」です。つまりは円周のどこか２つの点を結ぶ線ね。
で、何がいいたいかというと半径や円周とかの長さを知らなくても
その円の中心を求める事ができるんです。どんな円でも。
定規とコンパスさえあれば。
（ちなみに、数学でいう定規は定規で長さを測ったり角を使ったりする事はしてはいけないというルールがあるんです。常識ですが）
どうするかというとまず長さなどはどうでもいいので
弦をひきその弦の垂直二等分線を引く。
するとそれは必ず直径となるんですよ。
これで直径が求められる。
直径とその垂直二等分線は中心で交わるのでそこが中心。


・・・そんなの知ってるしｗとか言う人がいるでしょうが、
僕は最近までその事を知りませんでした・・・。
でも、これも考えてみると面白買ったので紹介してみました。
だってコンパスと直線をひくための定規さえあればどんな円でも中心が求められるんですよ?なんかこれもすごくないですか?


まあ、そういう事で今回は終わり。
（あと、コメントありがとね）


Ｑ，Ｅ，Ｄ