累乗数 （12/7）

今日はある事情があり、テストがありました。数学はかなりいけそうですが、理科が多分恐ろしく悪いです・・・・

まあ、それはさておき、そこで面白い問題があったので紹介します。累乗数に関する問題だったんですが


累乗数 （るいじょうすう）とは、他の自然数の累乗になっている自然数、 すなわち、m^k（m, kは自然数でk≥ 2）の形の数を指す。


↑が累乗数の定義です。

さて、どういう問題がでたかというと、

「3^53の一の位を求めよ。」
との問題でした。


（今まで普通に使ってましたけど３^53っていうのは３の53乗って意味ですから(^_^;)）

３を５２回掛け合わせた数の一の位を求める・・・これはどうすればいいかというと、単純に計算していては時間が足りませんし、第一計算できるわけがありません。（電卓も使えませんし）

ではどうやって解いたかというと、規則性を見つけるんです。
まず、

3^1＝3
これは当たり前ですね。
3^2＝9
こもまだぜんぜん楽勝です。
3^3＝27
まだ暗算でいけます。
3^4＝81
まだまだいけます
3^5＝243
数が大きくなりましたね。（僕はここで規則性を見つけました）
3^6＝729
規則性が見えてきそうです。
3^7＝2187
見えてきましたね。
3^8＝6561
おわかりでしょうか？
3^9＝19683
そろそろめんどくさくなってくるのでやめますね

一の位だけを見ると、
指数 一の位

1→ 3
2→ 9
3→ 7
4→ 1
5→ 3
6→ 9
7→ 7
8→ 1
9→ 3

（テストでここまで書き出したわけじゃありませんが説明のためここまで書き出しました。）

さて、規則性が見えましたね。3、9、7、1、
まあ、考えてみればこれは当たり前のことですが。

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では，一の位が3の時、指数はどう表せるか。
規則にのっとると、指数が、1,5,9、13、17、21のときです。
つまり指数が4ｎ＋1の時一の位は3です。

同じようにしていくと、
一の位が9の時、指数は4ｎ＋2。
一の位が7の時、指数は4ｎ＋3
一の位が1の時、指数は4ｎ

とあらわせます。

では53は上のどれに当てはまるかというと、
53は4で割ると、1あまるので、4ｎ＋1のパターンに当てはまりますね。

これでわかるとおり3^53の一の位は、3です。

この規則を使えば、３^271828189845904523536の一の位の数とかも求められるわけです。４でわってあまりさえもとめればわかるわけです。すごくないですか?これもまた！数学すげぇー！とか思いませんか？

この問題は、3の累乗数だけでなく、他の累乗数でも規則性が見つかります。

では今日はここまで。

Ｑ，Ｅ，Ｄ，