連続する自然数の和 （12/6）

どうも、最近は健康を気遣い野菜ジュースにはまってる管理人です。
今回は「連続する自然数の和」ということなんですが、例えば

①「1から10までの自然数の和はいくつになるか？」
これは、下の式を解けばいいだけですね。

1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10
＝55


次は、

②「1から100までの自然数の和はいくらになるか？」

1＋2＋3＋4＋5・・・・・・96＋97＋98＋99＋100
＝？


①の問題は暗算でも解けそうなんですが、②は難しいでしょう。この話にはガウスという昔の有名な数学者が関わるんですが、
天才ガウスは少年時代に②の問題を一瞬で解いてしまったという話があるそうです。どうやって解いたのか？いくらガウスといえど
これを単純に暗算して一瞬で答えを出すなど不可能でしょう。

さて、これをどう解いたか？ということです。
まず、式を見ると、

1＋2＋3＋4＋＋5・・・・・96＋97＋98＋99＋100
こうですね。
左の「1＋2＋3＋4＋5・・・」と、
右の「96＋97＋98＋99＋100」
をみて、何か気づくことはないでしょうか?

一番外側の1と100の和は？
その一つ内側の2と99の和は?
そのまた一つ内側の3と98の和は?

（1＋100）＋（2＋999）＋（3＋998）＋・・・・・（50＋51）

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そうです。すべて101になります。
こうして101が大量生産されていくわけです。
では、いくつの101ができるのか？というと、
50＋51の組までですね。よって101が50個できるわけです。
という事はその101と50の積は1～100の和と等しいという事です。

では、1～1000の和は？というと、これもまた、

1＋2＋3＋4＋5＋・・・・9997＋9998＋9998＋9999＋10000
（1＋10000）＋（2＋9999）＋（3＋9998）・・・（500＋501）

こうですね。今までの事を整理すると連続する整数の和を求める時には、
「もっとも大きな数に1をたしたものにもっとも大きな数の半分をかければよい」
という事がいえます。
よって500500になります。

では、

「「1≦ｎ」の範囲の中にある自然数の和は?」
（ただし、ｎは自然数で1≦ｎ）

（ちょっと難しく書きましたが、1～ｎ間の中にある全ての自然数の和は？ただしｎは自然数で1以上っていう条件付きだよ。って意味です）


これも同じように解けます。上記の文から一般化すると

1＋2＋3＋・・・（ｎ－2）＋（ｎ－1）＋ｎ
＝（1＋ｎ）＋｛（ｎ－1）＋2｝＋・・＋｛ｎ/2＋（ｎ/2＋1）｝
＝（ｎ＋1）×ｎ/2
＝ｎ（ｎ＋1）/2
＝（ｎ＾2＋ｎ）/2

確かめとして、ｎ＝1000を代入すると、

（1000^2＋1000）/2
＝1000000＋1000/2
＝1001000/2
＝500500

成り立ちますね。
よって、たとえ、1～61でも1～150でもさっきの（ｎ^2＋ｎ）/2
に代入すれば大幅な時間削減できるという事です。


では、今日はここまでです。


Ｑ，Ｅ，Ｄ，