同じ誕生日

これはかなり有名な話ですが取り上げてみます。

（同じ時期の場合）

1～12 月をそれぞれ上旬/中旬/下旬に分けることで一年を全部で 36 の期間に区切ったとき、n 人中、同一期間の誕生日のペアがいる確率。

まず、「n 人中、同一期間の誕生日のペアがいる」が起こらない確率、 すなわち "n 人全員が異なる時期の誕生日である確率" を考える。

2 人目が 1 人目と異なる時期の生まれである確率は残りの 35 の期間のうちのどれかであれば良いので、

2人が異なる時期の誕生日である確率は 35/36
となる。さらに 3 人目が前の 2 人と異なる時期の生まれである確率は残りの 34 の期間のうちのどれかであれば良いので、

3人全員が異なる時期の誕生日である確率は （35/36 ）× （34/36）
となる。同様に、

4人全員が異なる時期の誕生日である確率は （35/36）×（34/36） × （33/36）
:
n人全員が異なる時期の誕生日である確率は （35/36）×（34/36 ）×（ 33/36 × ... × (36 +1 -n)/36
これを 1 から引けば、"n 人中、同一期間の誕生日のペアがいる確率" となる。

1人 : 0
2人 : 0.02777777777777779
3人 : 0.08179012345679004
4人 : 0.15830761316872421
5人 : 0.25182898948331045
6人 : 0.3557416298328506
7人 : 0.46311802486070885
8人 : 0.5675117422489044
9人 : 0.6636202439713701
10人 : 0.7477151829785276
11人 : 0.8177942988178255
12人 : 0.8734682630679343
13人 : 0.9156455087119563
14人 : 0.9461068527881943
15人 : 0.9670652989261187
16人 : 0.9807880910402359
17人 : 0.9893267172445755
18人 : 0.9943668785457482
19人 : 0.9971834392728741
20人 : 0.9986699574344128
21人 : 0.9994088699708501
22人 : 0.9997536958211876
23人 : 0.9999042150415729
24人 : 0.9999654109872347
25人 : 0.9999884703290782
26人 : 0.9999964770449962
27人 : 0.9999990214013878
28人 : 0.9999997553503469
29人 : 0.9999999456334104
30人 : 0.9999999894287187
31人 : 0.9999999982381198
32人 : 0.9999999997552944
33人 : 0.9999999999728105
34人 : 0.9999999999977343
35人 : 0.9999999999998741
36人 : 0.9999999999999966
37人 : 1
11 人集めれば 8 割の確率で同一期間の誕生日のペアがいることになる。

37 人集まると必ず一組は同一期間の誕生日。(期間が 36 しか無いので当然。)

同じ誕生日のペアがいる確率
とりあえず、一年の日数を 366 日として計算。 計算方法は前項と同じで、36 が 366 になっただけ。

35 人集めれば 8 割の確率で同一誕生日のペアがいる。

1人 : 0
2人 : 0.002732240437158473
3人 : 0.008181791035862584
4人 : 0.016311448486388324
5人 : 0.02706214303844956
6人 : 0.04035364381661288
7人 : 0.05608555129502901
8人 : 0.07413855987681816
9人 : 0.0943759684041009
10人 : 0.11664541180400001
11人 : 0.1407807830661858
12人 : 0.16660431144397802
13人 : 0.19392876024909356
14人 : 0.2225597059233061
15人 : 0.2522978592486441
16人 : 0.2829413896073062
17人 : 0.31428821410534746
18人 : 0.34613821508952536
19人 : 0.37829535205233555
20人 : 0.4105696370550831
21人 : 0.442778946505625
22人 : 0.4747506462962858
23人 : 0.5063230118194599
24人 : 0.5373464291094938
25人 : 0.5676843681842811
26人 : 0.5972141244558466
27人 : 0.625827328729475
28人 : 0.6534302307084481
29人 : 0.6799437649711898
30人 : 0.7053034120089916
31人 : 0.7294588700410416
32人 : 0.7523735559118823
33人 : 0.7740239553949963
34人 : 0.7943988446626606
35人 : 0.8134984055409927
36人 : 0.8313332574701328
37人 : 0.8479234288665132
38人 : 0.86329728988274
39人 : 0.8774904674358981
40人 : 0.89054476188945
41人 : 0.9025070829944281
42人 : 0.9134284206917735
43人 : 0.9233628642189471
44人 : 0.9323666807178139
45人 : 0.9404974622708636
46人 : 0.9478133480572328
47人 : 0.9543723261702582
48人 : 0.9602316176183399
49人 : 0.9654471431765903
50人 : 0.9700730720955715
51人 : 0.9741614502245918
52人 : 0.9777619038818207
53人 : 0.980921414805715
54人 : 0.9836841607491498
55人 : 0.9860914157205867
56人 : 0.9881815035221378
57人 : 0.9899897980651987
58人 : 0.9915487639402908
59人 : 0.9928880308568567
60人 : 0.9940344958280192
:
367人 : 1



計算めちゃくちゃがんばりました・・・(ーー;)
電卓で・・・・・・

でも、結構意外ですよね。
一年は閏年の時も含めると366日あるのにその七分の一の50人いるだけで97パーセントを超えるという・・・・・・

今日はここまで。

Ｑ、Ｅ、Ｄ

二次方程式の解の公式（修正版）

結城さん＞ご指摘ありがとうございます(・・;)

全部直すのも面倒なんで解の公式だけもう一度やります。・・・ｻｰｾﾝ
二次方程式の一般式
　　　　ax2＋bx＋C＝0
a｛X2＋(b/a)X｝＋C＝０　　・・・aで括る。
a{X＋(b/2a)}^2―（b2/4a^2)}＋C＝0　　・・・平方完成
a{X＋(b/2a)}^2＝(b/4a)－C　　・・・移項
｛X＋(b/2a)}^2＝(b/4a^2)－C/a　　・・・両辺を÷a
｛X＋(b/2a)}^2＝(b－4aC)/4a2　　・・・右辺を計算
X＋(b/2a)＝±√{(b－4aC)/4a2}　　・・・二乗を外す
X＋(b/2a)＝±√(b－4aC)/2a　　・・・右辺を計算
X＝－b±√(b－4aC)/2a

カッコがめんどくさかった・・・・・

まあいいや。

Q、E、D

二次方程式の解の公式

平方完成及び絶対値更に判別式

どうも今日は解の公式についてです。

一次方程式は簡単ですけど移項がめんどくさいですよね。
一方、二次方程式は複雑ですが解の公式という便利なものがあります。

（一次方程式にも作ればできますが）
ａｘ＋ｂ＝ｃｘ＋ｄ
(a-c)x=d-b
x=(d-b)/(a-c)

ただし、a-c≠０、

まあ、これに代入するよりは移項するほうが簡単ですけどね。





2次方程式の解の公式を導くには次のようにします。これには
　　　　　a2=b　⇔　a=±√b　　　　　・・・☆
という事実を用います。これ自体は因数分解
　　　　　a2-b=a2-(√b)2=(a+√b)(a-√b)
を用いて示されます。
さて話を戻して、実際に2次方程式 ax2+bx+c=0 を解いてみましょう。
これ（ax2+bx+c=0 ）は明らかにあらゆる2次方程式を表しているので（表し得るので）この解を求めればそれが解を求める公式になります。

まず2次方程式であることから a≠0 は前提とされているので両辺を a で割ることができ、

ax2+bx+c=0　⇔　x2+(b/a)x+c=0

次にちょっとしたテクニックなのですが、この左辺の一部を次のように平方完成の形と定数に分けます。

⇔　x2+(b/a)x+(b/2a)2+c-(b/2a)2=0　⇔　{x+(b/2a)}2=(b2-4ac)/4a2

よって☆を用いて

⇔　x+(b/2a)=±√{(b2-4ac)/4a2}=±√(b2-4ac)/2a　⇔　x={-b±√(b2-4ac)}/2a

となりこれが解の公式となります（変形がすべて同値変形であることに注意してください。）。

発展？
さて実は上の式変形において実は ±√{(b2-4ac)/4a2}=±√(b2-4ac)/2a　の部分に少しごまかしがあります。
それは a が負の時は √a2≠a だからです。
一般に次が成り立ちます。

　　　　　・ a＞0 のとき√a2=a
　　　　　・ a＜0 のとき√a2=-a

となります。これは具体的な数で試してみればすぐに分かります。
では先程の変形はインチキなのでしょうか？いいえ、インチキではありません。説明を省略しただけです。
なぜならば ±√(b2-4ac)/2a であろうと ±√(b2-4ac)/(-2a) であろうと
符合の順番さえ気にしなければ（そしてこの場合は気にしなくて良い）結局両方とも、（いわば最初の " ± " に吸収される形で）
±√(b2-4ac)/2a と書けるからです。

ところでもう一度

　　　　　・ a＞0 のとき√a2=a
　　　　　・ a＜0 のとき√a2=-a

を見てください。そして絶対値について次が成り立つことを思い出してください。

　　　　　・ a＞0 のとき|a|=a
　　　　　・ a＜0 のとき|a|=-a

これらを比べると結局

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　√a2=|a|

が分かります。このことは表現を簡略化するときなどにたまに使うのでまあ、頭の片隅にでも置いといてください。

発展
話を戻して解の公式を導くときに2次式を

　　　　　　　　　　　　　　　　　（もとの2次式）=（ｘに関する式）2+（定数）

の形にしたことをもう一度見てみます。確か実数の平方は負でない（0以上である）のでした。
といことは、これだけで自動的に x が実数ならば

　　　　　　　　　　　　　　　　　（もとの2次式）=（ｘに関する式）2+（定数）≧（定数）

が言えます。上の式で右辺と左辺の "（定数）" は同じものです。
ですから、例えば次の様なことがいえます。

　　　　　　　　　　　　　　　　x2+x+1=x2+x+(1/2)2+3/4≧3/4

よって x が実数ならば
　　　　　　　　　　　　　　　　x2+x+1≠0

もいえます。よって

　x2+x+1=0 の解は実数の範囲にはない（実数解は存在しない）

ことが分かります。さて、これを一般にax2+bx+c=0でやってみると　
　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　ax2+bx+c≧-(b2-4ac)/4a2

となります。よって右辺（-(b2-4ac)/4a2）が少なくとも 0 以下でなければ方程式ax2+bx+c=0には実数解が存在しないことが分かります。
4a2 はもともと正なのでここで重要なのは b2-4ac の符合です。これを D とおきこの2次方程式の判別式と呼びます。
今述べたことから少なくとも D≧0 でなければ方程式は実数解を持ちません。また逆にD≧0 ならば実数解を持つことも容易に分かります。
これは解の公式から直接示すことが出来ます。

以上です。

Ｑ，Ｅ，Ｄ，

直線の方程式

直線の方程式。

中学で習う、基本中の基本であるのが、これ。
y=ax+b


aが傾き、bが切片。
切片というのは、y軸との交点のことです。


つまり、｢y=ax｣のグラフから、どれだけ上下に移動したか、ということ。


さて。
数Ⅱの教科書を見てみると、新しいタイプの直線の方程式がでてきましたねぇ。
y-y1=m(x-x1)

これは、気付けば簡単なことです。
ｍ　は傾き。

-y1と-x1がなければこの式は
y=mxとなります。
これは、原点を通る直線のグラフですね。
傾きの記号が、aからｍに代わっただけ。

さて、これを。
点(x1,y1)　を通る直線にしたい。　傾きはｍのまま。
傾きはｍのままなので、この直線を、x軸方向にｘ１だけ、y軸方向にｙ１だけ平行移動すればいい、ということ。

y=ｍxの原点を、(x1,y1)のところに持ってくるんです。
だから、ｘ　を　x-x1　に代え、ｙをy-y1に代える。

そうすれば、(x1,y1)を通るように平行移動したグラフになりますよね？
なので、点(x1,y1)を通り、傾きがｍの直線の方程式は

y-y1=m(x-x1)
となるのです。



では次。
2点(x1,y1)、(x2,y2）を通る直線。
これは簡単です。

通る点はわかってます。なので、上のy-y1=m(x-x1)に当てはめます。

わからないのはｍ、すなわち傾きですよね？
さて。
傾きはどうだせばいいのでしょう。
傾き＝ｙの増加量/xの増加量
おｋ？


なので、傾きｍを、yの増加量/xの増加量　で置き換えればいい。
ｙの増加量はy2-y1　　ｘの増加量はx2-x1　。　とういことはわかりますね。・・・わかりますね？！
なので、上の式のｍをy2-y1/x2-x1で置き換え
y-y1={(y2-y1)/(x2-x1)}(x-x1)　となるわけですよ。


次。
２つの直線が、平行とか垂直とか。
平行は簡単。傾きが同じなら平行です。


垂直。
垂直は、どういうことかっていうとですね、
傾きが、お互いのマイナス逆数になってれば、垂直。

傾きの、分子と分母がひっくりかえってて、プラスマイナスが変わってたら、垂直です。


次。
点と直線の距離。
なんか√の中に二乗があったり、分子が絶対値だったり、面倒なことになってますねぇ。


これ。
残念ながら、感覚的に覚えられる説明が俺では思いつけませんでした。


この、ｄ＝|ax1+by1+c|/√(a^2+b^2)　とかいう式

というわけで、今日はここまで。」


あと、右のリンクに結城のＨＰ登録しました。
管理画面とか新しい記事を書くとかのとこね。

Ｑ，Ｅ，Ｄ，

パスカルの三角形

昨日、先生に「パスカルの三角形を調べてみるといい」
と言われたので、調べてみました。
すると、二項展開｛（ｘ＋ｙ）^ｎのこと｝の係数を表す三角形でした・・・。パスカルの三角形は二項定理だけではなくフィボナッチ数列など、色々な要素が含まれた不思議な三角形です。



文章では説明しづらいので、是非、検索してみる事をオススメします。


最近は「レイ㌧教授シリーズ」にハマってます。
最近ではCMでもやってますね。

もう少しでクリアできそうです。

以上。

Ｑ，Ｅ，Ｄ，