二次方程式の解の公式

平方完成及び絶対値更に判別式

どうも今日は解の公式についてです。

一次方程式は簡単ですけど移項がめんどくさいですよね。
一方、二次方程式は複雑ですが解の公式という便利なものがあります。

（一次方程式にも作ればできますが）
ａｘ＋ｂ＝ｃｘ＋ｄ
(a-c)x=d-b
x=(d-b)/(a-c)

ただし、a-c≠０、

まあ、これに代入するよりは移項するほうが簡単ですけどね。





2次方程式の解の公式を導くには次のようにします。これには
　　　　　a2=b　⇔　a=±√b　　　　　・・・☆
という事実を用います。これ自体は因数分解
　　　　　a2-b=a2-(√b)2=(a+√b)(a-√b)
を用いて示されます。
さて話を戻して、実際に2次方程式 ax2+bx+c=0 を解いてみましょう。
これ（ax2+bx+c=0 ）は明らかにあらゆる2次方程式を表しているので（表し得るので）この解を求めればそれが解を求める公式になります。

まず2次方程式であることから a≠0 は前提とされているので両辺を a で割ることができ、

ax2+bx+c=0　⇔　x2+(b/a)x+c=0

次にちょっとしたテクニックなのですが、この左辺の一部を次のように平方完成の形と定数に分けます。

⇔　x2+(b/a)x+(b/2a)2+c-(b/2a)2=0　⇔　{x+(b/2a)}2=(b2-4ac)/4a2

よって☆を用いて

⇔　x+(b/2a)=±√{(b2-4ac)/4a2}=±√(b2-4ac)/2a　⇔　x={-b±√(b2-4ac)}/2a

となりこれが解の公式となります（変形がすべて同値変形であることに注意してください。）。

発展？
さて実は上の式変形において実は ±√{(b2-4ac)/4a2}=±√(b2-4ac)/2a　の部分に少しごまかしがあります。
それは a が負の時は √a2≠a だからです。
一般に次が成り立ちます。

　　　　　・ a＞0 のとき√a2=a
　　　　　・ a＜0 のとき√a2=-a

となります。これは具体的な数で試してみればすぐに分かります。
では先程の変形はインチキなのでしょうか？いいえ、インチキではありません。説明を省略しただけです。
なぜならば ±√(b2-4ac)/2a であろうと ±√(b2-4ac)/(-2a) であろうと
符合の順番さえ気にしなければ（そしてこの場合は気にしなくて良い）結局両方とも、（いわば最初の " ± " に吸収される形で）
±√(b2-4ac)/2a と書けるからです。

ところでもう一度

　　　　　・ a＞0 のとき√a2=a
　　　　　・ a＜0 のとき√a2=-a

を見てください。そして絶対値について次が成り立つことを思い出してください。

　　　　　・ a＞0 のとき|a|=a
　　　　　・ a＜0 のとき|a|=-a

これらを比べると結局

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　√a2=|a|

が分かります。このことは表現を簡略化するときなどにたまに使うのでまあ、頭の片隅にでも置いといてください。

発展
話を戻して解の公式を導くときに2次式を

　　　　　　　　　　　　　　　　　（もとの2次式）=（ｘに関する式）2+（定数）

の形にしたことをもう一度見てみます。確か実数の平方は負でない（0以上である）のでした。
といことは、これだけで自動的に x が実数ならば

　　　　　　　　　　　　　　　　　（もとの2次式）=（ｘに関する式）2+（定数）≧（定数）

が言えます。上の式で右辺と左辺の "（定数）" は同じものです。
ですから、例えば次の様なことがいえます。

　　　　　　　　　　　　　　　　x2+x+1=x2+x+(1/2)2+3/4≧3/4

よって x が実数ならば
　　　　　　　　　　　　　　　　x2+x+1≠0

もいえます。よって

　x2+x+1=0 の解は実数の範囲にはない（実数解は存在しない）

ことが分かります。さて、これを一般にax2+bx+c=0でやってみると　
　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　ax2+bx+c≧-(b2-4ac)/4a2

となります。よって右辺（-(b2-4ac)/4a2）が少なくとも 0 以下でなければ方程式ax2+bx+c=0には実数解が存在しないことが分かります。
4a2 はもともと正なのでここで重要なのは b2-4ac の符合です。これを D とおきこの2次方程式の判別式と呼びます。
今述べたことから少なくとも D≧0 でなければ方程式は実数解を持ちません。また逆にD≧0 ならば実数解を持つことも容易に分かります。
これは解の公式から直接示すことが出来ます。

以上です。

Ｑ，Ｅ，Ｄ，