指数法則③ 12/10

ケンタッキーさん＞Thanks．取り上げてみたいと思います。

3^-2について、
指数法則から
3^-2×3^4＝3^（-2+4）＝3^2＝9
3^-2＝ｘ
81ｘ＝9
ｘ＝1/9
3＾-2＝1/9

はい、楽勝ですね。
3をマイナス二回掛け合わせる・・・・
普通に考えたら答えなんて出ませんが，法則に基づいて考えればでてしまうんですね。不思議な事に。

考えてみてください。3をマイナス二回かけ合わせる・・・・
すると、9分の1。すごいですよね!?


さて、指数法則がヽ(`Д´)ﾉｳﾜｧｧﾝ!!ﾜｶﾝﾅｲﾖｫ!!! という方に。
簡単にまとめて、説明します。

まず、指数が２以上の場合は普通に計算できます。
そこで、指数が１減るたびにどういう変化を起こすのかという
関数の概念を使っていきます。

３^5＝３×３×３×３×３
３^4＝３×３×３×３
３^3＝３×３×３
３^2＝３×３


これをみて気付く法則・・・・・
そう、指数が1減るたび×3が一つ消えてますね。

×3が減るというのは逆にいえば÷3をするというのと同じです。
つまり、指数が1減るたびにその数を÷3していけばいい。


これなら、おそらく理解できる事でしょう。
では、指数が1以下のモノも求めてみましょう。


３^5＝３×３×３×３×３
↓÷3
３^4＝３×３×３×３
↓÷3
３^3＝３×３×３
↓÷3
３^2＝３×３
↓÷3
3^1＝3
↓÷3
3^0＝1
↓÷3
3^-1＝1/3
↓÷3
3^-2＝1/9

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．
．
．
．


・・・初めからこう説明しとけば良かったですね(^_^;)


さて、今日は、通知表が返って来ましたｗ
まあ、あえて結果は言いませんが。


あと、数学ガール・・・いいですよね。

こっちには数学について語り合える人がいなくて・・・・
きぃやユークリッドがこっちにくればいいのにねえ～。

あと、出題ですｗ
正方形，Ａ，Ｂ，Ｃ，があります。
3つの正方形の面積の和は61です。
ＡとＢの面積の差は2で、ＢとＣの面積の差は1です。
Ｃの正方形の一辺の長さを求めよ。
（けっこういい問題でしたｗ）
まあ、連立二次方程式の文章題ですね。
結構いい問題でした。

今日はここまで。

Ｑ，Ｅ，Ｄ，

指数法則② （12/9）

どうも、ついさっきキリ番150を突破いたしました・・・・
今、考えたんですが、次のテーマが決まりました。
指数法則が終わったらそれについてやっていきます・・
（あえて言いませんがね。）


で、今日は指数法則の前に・・・数学好きならはまるであろう動画と、書籍を紹介します。

まず、動画ですがみなさん、ＹＯＵＴＵＢＥは知ってますね?
もちろんのこと。
できれば「ニコニコ動画」のほうが種類はありますが、あれは、
会員登録しないといけないのでね。

で、なんてやつよ？・・・というと、
ズバリ、「初音の愛した数式シリーズ」

いいですよ・・・あれは。数学好きにはたまらないでしょう。
特にミルカさんはコアな方ですからｗ
まあ、とりあえず

[自然対数の底の唄～ｅに思いを馳せて～]
これで検索してみてください。
ちなみにアドレスはこちら↓

http://jp.youtube.com/watch?v=TgExYd-hoQ0&feature=related

内容はネイピア数についてです。
中学数学程度ではやりませんが・・・

（まあ、歌ってるのがボーカロイドってのが気に入りませんね）

これはシリーズ化されてるので、他にもいくつかあります。
コアな方にだけウケルだろうと思われます。
興味があればどうぞ。

あと、書籍ですが、「数学ガール」、これはいいですね。
最近はまってますｗ
まあ、これも興味があればどうぞ。


余談ですが、明日期末テストの通知表が配られるんですよ。
まあ、数学好きとして数学は落としてないですｗ


では、指数法則について、やりますか。

はい、3^（1/2）とのことですが、これも、指数法則を使えば楽に求める事ができますね。
3^1＝3は前回で求められているので、
指数法則から、

3^（1/2）×3^(1/2)＝3＾（1/2＋1/2）＝3＾1＝3
3^（1/2）＝ｘ、とおくと
x^2＝3、ということがわかるので、
ｘ＝√3
よって、3^（1/2）＝√3
楽にでましたね。


（√についてはまた、今度のテーマに取り上げたいと思いますので興味のある方は自分でよろしく）


じゃあ、今度は、3^-2（さんのまいなすにじょう）についてやります。３をマイナス二回掛け合わせる・・・

3^3＝3×3×3
3^2＝3×3
3^1＝3
3^-2＝？？？？

では、今日はここまで。

Ｑ，Ｅ，Ｄ，

指数法則 （12/8）

どうも、今回は指数法則です。


累乗数 （るいじょうすう）とは、他の自然数の累乗になっている自然数、 すなわち、m^k（m, kは自然数でk≥ 2）の形の数を指す。


昨日はさらっと流してしまったんですが、

「3^1」これは指数が2以下なので累乗数じゃないですね。

ところで、

3^4＝3×3×3×3＝81
3^3＝3×3×3＝27
3^2＝3×3＝9
3^1＝？？？

3^4は3を4回掛け合わせるということですが、3^1は同じようにいけば3を1回掛け合わせるという事になりますね。


さて、3を一回掛け合わせるとは？どういうことでしょうか?
ここで指数法則を使うのです。

指数法則とは

ｎ^a×ｎ^ｂ＝ｎ^（ａ＋ｂ）

↑のような法則の事です。

例をあげると、

2^2×2^3＝2^2＋3＝2^5
になりますね。
実際に値で計算すると、
（2×2）×（2×2×2）＝2×2×2×2×2
4×8＝32
32＝32

と、なり確かに成り立ちますね
もう一つ例にあげると
4＾2×4^4＝4^2＋4＝4^6
（4×4）×（4×4×4×4）＝4×4×4×4×4×4
16×256＝4096
4096＝4096


この指数法則から行くと3^1×3^2＝3^1＋2＝3^3
つまり、3^1×9＝27
という事になります。3^1に9をかけると27になる。

方程式を使うと、ｘ＝3^1、とおく。
9ｘ＝27
ｘ＝3
3^1＝3

このことから3^1が3だという事が求められます。


では、新たな疑問です。3^0の値はなにか？
ここでも、指数法則を使います。

3^0×3^2＝3^0＋2＝3^2
3^0×9＝9

となり、また方程式を使うと、
ｘ＝3^0とおく。
9ｘ＝9
ｘ＝1


3＾0＝1









キターーーｗｗ!!!!!!!



3^0＝1、この事実についてどう思いますか？
3を0回掛け合わせたものは1になる。

スゲーｗｗｗｗｗｗｗ！！！！！！！！


では、次回は3^（1/2） （3のにぶんのいち乗） について話します。3を二分の一回掛け合わせる・・・・

考えてみてください。



追記：みなさん、コメントいつもありがとうございます。

ミルカさん＞因数分解の問題Thanks
とりあえず剰余定理にチャレンジしてみます。

きぃ＞コメントにあったけど、
ひなこはうちの学校の同級生ね。


Ｑ，Ｅ，Ｄ，

累乗数 （12/7）

今日はある事情があり、テストがありました。数学はかなりいけそうですが、理科が多分恐ろしく悪いです・・・・

まあ、それはさておき、そこで面白い問題があったので紹介します。累乗数に関する問題だったんですが


累乗数 （るいじょうすう）とは、他の自然数の累乗になっている自然数、 すなわち、m^k（m, kは自然数でk≥ 2）の形の数を指す。


↑が累乗数の定義です。

さて、どういう問題がでたかというと、

「3^53の一の位を求めよ。」
との問題でした。


（今まで普通に使ってましたけど３^53っていうのは３の53乗って意味ですから(^_^;)）

３を５２回掛け合わせた数の一の位を求める・・・これはどうすればいいかというと、単純に計算していては時間が足りませんし、第一計算できるわけがありません。（電卓も使えませんし）

ではどうやって解いたかというと、規則性を見つけるんです。
まず、

3^1＝3
これは当たり前ですね。
3^2＝9
こもまだぜんぜん楽勝です。
3^3＝27
まだ暗算でいけます。
3^4＝81
まだまだいけます
3^5＝243
数が大きくなりましたね。（僕はここで規則性を見つけました）
3^6＝729
規則性が見えてきそうです。
3^7＝2187
見えてきましたね。
3^8＝6561
おわかりでしょうか？
3^9＝19683
そろそろめんどくさくなってくるのでやめますね

一の位だけを見ると、
指数 一の位

1→ 3
2→ 9
3→ 7
4→ 1
5→ 3
6→ 9
7→ 7
8→ 1
9→ 3

（テストでここまで書き出したわけじゃありませんが説明のためここまで書き出しました。）

さて、規則性が見えましたね。3、9、7、1、
まあ、考えてみればこれは当たり前のことですが。

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では，一の位が3の時、指数はどう表せるか。
規則にのっとると、指数が、1,5,9、13、17、21のときです。
つまり指数が4ｎ＋1の時一の位は3です。

同じようにしていくと、
一の位が9の時、指数は4ｎ＋2。
一の位が7の時、指数は4ｎ＋3
一の位が1の時、指数は4ｎ

とあらわせます。

では53は上のどれに当てはまるかというと、
53は4で割ると、1あまるので、4ｎ＋1のパターンに当てはまりますね。

これでわかるとおり3^53の一の位は、3です。

この規則を使えば、３^271828189845904523536の一の位の数とかも求められるわけです。４でわってあまりさえもとめればわかるわけです。すごくないですか?これもまた！数学すげぇー！とか思いませんか？

この問題は、3の累乗数だけでなく、他の累乗数でも規則性が見つかります。

では今日はここまで。

Ｑ，Ｅ，Ｄ，

連続する自然数の和 （12/6）

どうも、最近は健康を気遣い野菜ジュースにはまってる管理人です。
今回は「連続する自然数の和」ということなんですが、例えば

①「1から10までの自然数の和はいくつになるか？」
これは、下の式を解けばいいだけですね。

1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10
＝55


次は、

②「1から100までの自然数の和はいくらになるか？」

1＋2＋3＋4＋5・・・・・・96＋97＋98＋99＋100
＝？


①の問題は暗算でも解けそうなんですが、②は難しいでしょう。この話にはガウスという昔の有名な数学者が関わるんですが、
天才ガウスは少年時代に②の問題を一瞬で解いてしまったという話があるそうです。どうやって解いたのか？いくらガウスといえど
これを単純に暗算して一瞬で答えを出すなど不可能でしょう。

さて、これをどう解いたか？ということです。
まず、式を見ると、

1＋2＋3＋4＋＋5・・・・・96＋97＋98＋99＋100
こうですね。
左の「1＋2＋3＋4＋5・・・」と、
右の「96＋97＋98＋99＋100」
をみて、何か気づくことはないでしょうか?

一番外側の1と100の和は？
その一つ内側の2と99の和は?
そのまた一つ内側の3と98の和は?

（1＋100）＋（2＋999）＋（3＋998）＋・・・・・（50＋51）

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そうです。すべて101になります。
こうして101が大量生産されていくわけです。
では、いくつの101ができるのか？というと、
50＋51の組までですね。よって101が50個できるわけです。
という事はその101と50の積は1～100の和と等しいという事です。

では、1～1000の和は？というと、これもまた、

1＋2＋3＋4＋5＋・・・・9997＋9998＋9998＋9999＋10000
（1＋10000）＋（2＋9999）＋（3＋9998）・・・（500＋501）

こうですね。今までの事を整理すると連続する整数の和を求める時には、
「もっとも大きな数に1をたしたものにもっとも大きな数の半分をかければよい」
という事がいえます。
よって500500になります。

では、

「「1≦ｎ」の範囲の中にある自然数の和は?」
（ただし、ｎは自然数で1≦ｎ）

（ちょっと難しく書きましたが、1～ｎ間の中にある全ての自然数の和は？ただしｎは自然数で1以上っていう条件付きだよ。って意味です）


これも同じように解けます。上記の文から一般化すると

1＋2＋3＋・・・（ｎ－2）＋（ｎ－1）＋ｎ
＝（1＋ｎ）＋｛（ｎ－1）＋2｝＋・・＋｛ｎ/2＋（ｎ/2＋1）｝
＝（ｎ＋1）×ｎ/2
＝ｎ（ｎ＋1）/2
＝（ｎ＾2＋ｎ）/2

確かめとして、ｎ＝1000を代入すると、

（1000^2＋1000）/2
＝1000000＋1000/2
＝1001000/2
＝500500

成り立ちますね。
よって、たとえ、1～61でも1～150でもさっきの（ｎ^2＋ｎ）/2
に代入すれば大幅な時間削減できるという事です。


では、今日はここまでです。


Ｑ，Ｅ，Ｄ，