直線の方程式

直線の方程式。

中学で習う、基本中の基本であるのが、これ。
y=ax+b


aが傾き、bが切片。
切片というのは、y軸との交点のことです。


つまり、｢y=ax｣のグラフから、どれだけ上下に移動したか、ということ。


さて。
数Ⅱの教科書を見てみると、新しいタイプの直線の方程式がでてきましたねぇ。
y-y1=m(x-x1)

これは、気付けば簡単なことです。
ｍ　は傾き。

-y1と-x1がなければこの式は
y=mxとなります。
これは、原点を通る直線のグラフですね。
傾きの記号が、aからｍに代わっただけ。

さて、これを。
点(x1,y1)　を通る直線にしたい。　傾きはｍのまま。
傾きはｍのままなので、この直線を、x軸方向にｘ１だけ、y軸方向にｙ１だけ平行移動すればいい、ということ。

y=ｍxの原点を、(x1,y1)のところに持ってくるんです。
だから、ｘ　を　x-x1　に代え、ｙをy-y1に代える。

そうすれば、(x1,y1)を通るように平行移動したグラフになりますよね？
なので、点(x1,y1)を通り、傾きがｍの直線の方程式は

y-y1=m(x-x1)
となるのです。



では次。
2点(x1,y1)、(x2,y2）を通る直線。
これは簡単です。

通る点はわかってます。なので、上のy-y1=m(x-x1)に当てはめます。

わからないのはｍ、すなわち傾きですよね？
さて。
傾きはどうだせばいいのでしょう。
傾き＝ｙの増加量/xの増加量
おｋ？


なので、傾きｍを、yの増加量/xの増加量　で置き換えればいい。
ｙの増加量はy2-y1　　ｘの増加量はx2-x1　。　とういことはわかりますね。・・・わかりますね？！
なので、上の式のｍをy2-y1/x2-x1で置き換え
y-y1={(y2-y1)/(x2-x1)}(x-x1)　となるわけですよ。


次。
２つの直線が、平行とか垂直とか。
平行は簡単。傾きが同じなら平行です。


垂直。
垂直は、どういうことかっていうとですね、
傾きが、お互いのマイナス逆数になってれば、垂直。

傾きの、分子と分母がひっくりかえってて、プラスマイナスが変わってたら、垂直です。


次。
点と直線の距離。
なんか√の中に二乗があったり、分子が絶対値だったり、面倒なことになってますねぇ。


これ。
残念ながら、感覚的に覚えられる説明が俺では思いつけませんでした。


この、ｄ＝|ax1+by1+c|/√(a^2+b^2)　とかいう式

というわけで、今日はここまで。」


あと、右のリンクに結城のＨＰ登録しました。
管理画面とか新しい記事を書くとかのとこね。

Ｑ，Ｅ，Ｄ，

パスカルの三角形

昨日、先生に「パスカルの三角形を調べてみるといい」
と言われたので、調べてみました。
すると、二項展開｛（ｘ＋ｙ）^ｎのこと｝の係数を表す三角形でした・・・。パスカルの三角形は二項定理だけではなくフィボナッチ数列など、色々な要素が含まれた不思議な三角形です。



文章では説明しづらいので、是非、検索してみる事をオススメします。


最近は「レイ㌧教授シリーズ」にハマってます。
最近ではCMでもやってますね。

もう少しでクリアできそうです。

以上。

Ｑ，Ｅ，Ｄ，

3次式の因数分解

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どうも、今日は三次式の因数分解についてです。
中学では二次式の因数分解しかやりませんが、三次式について考えてみました。

僕は、因数分解の計算練習に多項式の積を適当に書いてそれを展開して和の形にしてから因数分解して積の形にするという方法をとっているんですが，
ある日、

（n＋1）＾3を展開してみたんです。
すると、n^3＋3n^2＋3n＋1になったんです。
でその後因数分解してみるんですが

・・・どうやんの？ヽ(`Д´)ﾉｳﾜｧｧﾝ!!ﾜｶﾝﾅｲﾖｫ!!!

ってことになって・・・・。
色々とｎで括ったり試行錯誤したんですけど結局できなくて塾の先生に聞いた結果を記録します。（忘れないよう）


［n＾3を展開］
＝n^3＋3n^2＋3ｎ＋1
［3ｎで括る］
＝3ｎ（ｎ＋1）＋ｎ^3＋1
「共通因数ｎ＋1を作る」
＝3ｎ（ｎ＋1）＋（ｎ＋1）（ｎ^2－ｎ＋1）
「ｎ＋1＝ｍ」
＝3ｎｍ＋ｍ（ｎ^2ーｎ＋1）
「ｍで括る」
＝ｍ（3ｎ＋ｎ^2－ｎ＋1）
＝ｍ（ｎ^2＋2ｎ＋1）
「カッコの中を因数分解」
＝ｍ（ｎ＋1）^2
「ｍをもどす」
＝（ｎ＋1）^3

共通因数を作ればいいんですね。


あと、どこかで見つけた面白い問題。

8×8の正方形がある。
各辺を8等分し、1×1の正方形を64個作る。
では、その中に正方形は何個あるか?
数えてみると、
1^1の正方形・・・8^2個
2^2・・・・・・・7^2個
3^2・・・・・・・6^2個
4^2・・・・・・・5^2個
5^2・・・・・・・4^2個
6^2・・・・・・・3^2個
7^2・・・・・・・2^2個
8^2・・・・・・・1^1個

という性質を見つけました！

スゲ-！！( ゜Д゜)
って思いましたね。
という事は、8^2の正方形の中には
（1^2＋2^2+3^2+4^2+5^2+6^2+7^2+8^2）個あることになりますね。求めると、204個


で、「じゃあ、一辺がｎの正方形の中には?」

これは、1^2＋2^2+3^2+・・・ｎ^2を求めればよい。
じゃあどう求めんの??

ヽ('ー’＃）／ﾜｶﾝﾈ


Ｑ，Ｅ，Ｄ，

数学ガールを支援

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さあ、どういうことかというとですね。
今日、いつもどおり家に帰ってなにげなくPCを立ち上げる。
ここまではいつもどおりなんですがコメントを確認してみると
「結城 浩」の名前が・・・・

え！？( ゜Д゜)ちょｗｗ(゜Д゜；≡；゜Д゜）


結城さんっていえば数学ガールの作者ですよ？
まあ、ネット上なんで本物かといわれれば疑っちゃいますけど、僕は信じてますよ。

上の画像は結城さんのHPにあった画像です。
ちゃんと感想も送りましたよ。

あと、数学ガール・・第二弾・・「フェルマーの最終定理」・・・
知りませんでした・・不覚にも・・
絶対買います！

皆さんも是非読むべきです。オススメしますよ。

あと、キリ番を設定するのを忘れてたんですが2^8を突破しました！！（祝）

ちなみに結城さんのHP↓

http://www.hyuki.com/d/200812.html#i20081212001423

Ｑ，Ｅ，Ｄ，

発見した・・・・・・

ちょっと聞いてくださいよ・・・・発見してしまいました・・・
もう誰かが先に発見しているでしょうが、自分にとっては大発見ですよ･･･
何を発見したのかというと
「連続する整数の平方のそれぞれの差はそれぞれ連続する奇数になる」

なぜかというと、どこかの学校の選択授業で取り扱った問題ってのがあって、それを解いてるうちに連続する整数の平方がでてきて、
それの差を求めてみると・・・・・

ちょWこれはｗｗスゲ－！！

まあ、どういうことかというとですね、

0＾2，1＾2，2＾2，3＾2，4＾2，5＾2，6＾2，7^2、・・・・
と連続する自然数の平方があるわけです。

値を求めると、

0,1,4,9,16,25,36,49,64,81、・・・・

それぞれの差は?というと、
1－0＝1
4－1＝3
9－4＝5
16－9＝7
25－16＝9
36－25＝11
49－36＝13
64－49＝15
81－64＝17
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キタ＝＝＝!!!!


これを見つけたときは感動しましたね。
自分で発見した
という事がもうね・・・・


でも、「すべてそうなるのか？15654＾2と15655＾2でもか？」
といわれるかもしれませんが
これの証明もできてます。


「連続する自然数をｎ，ｎ＋1，とおく。すると、平方数はｎ^2，（ｎ＋1）^2と表す事ができる。（ｎ＋1）^2を展開すると、n^2＋2ｎ＋1と表せる。2数の差は，n＾2＋2ｎ＋1－n＾2，つまり、2ｎ＋1と表せる。ｎは自然数なので2ｎ＋1は奇数である。よって、任意の自然数の平方の差は奇数になる。また、その奇数は連続する。 Ｑ，Ｅ，Ｄ，」


以上です。では今日はまで

ユークリッド＞正解ｗ
きぃ＞おｋｗ


Ｑ，Ｅ，Ｄ，