ユークリッドの互除法 （12/5）

ユークリッドの互除法
さて、ユークリッドとは実在する人物の名前なんだけれど、ユークリッドの生涯については、詳しいことはほとんど分かっていないらしいです。


【公約数について】

　例えば、３０と４５の約数は、

３０の約数・・・１、２、３、５、６、１０、１５、３０
４５の約数・・・１、３、５、９、１５、４５

ですから、２つの約数のうち共通の｢１、３、５、１５｣の４つの数字が３０と４５の公約数となります。
また、公約数のうち最大の約数を最大公約数といい、この場合１５となります。ここで、最大公約数を求めるときに、いまのように１つ１つ約数を取り上げて比べていくのではなく、もっと簡単に求める方法があります。その方法がユークリッドの互除法です。


【ユークリッドの互除法について】

　これは前述の「原論」の第７章にやや異なった形で述べられていますが、それはユークリッドよりも１００年ほど前にすでに発見されていたと伝えられているそうですよ。

【ユークリッドの互除法】

２つの整数aとbについて、

a をb で割った余りをr1 　(b >r1)
b をr1で割った余りをr2 　(r1>r2)
r1をr2で割った余りをr3 　(r2>r3)
　　・・・・・・・・・・
としていくと、r1>r2>r3･････≧0 となって余りはいつか0になる。

そこで余りが○>□となって、○が□で割り切れたとすると、□が最大公約数である。

もうちょっと一般化していうと、２つの整数aとbがあり、aがbで割り切れないとき、kを任意の整数として、aとbの最大公約数はa+bkとbの最大公約数に等しいということです。


それでは、６０と１６８の最大公約数をこの方法で求めてみることにします。

１６８÷６０＝２ 余り ４８
　６０÷４８＝１ 余り １２
　４８÷１２＝４ 余り 　０ →　４８が１２で割り切れるので、１２が６０と１６８の最大公約数となる。

ユークリッドの互除法を使うと、いつか必ず割り切れて、そのときの割った数が最大公約数となります。
（ユークリッドの互除法はＮ桁の数に対して５Ｎ回以内で終了することがわかっています。）

でも、なぜこんなにも簡単に最大公約数が求まるのか不思議ですね？どうしてこうなるのかは説明が難しくなりますが下記の通りです。（わからない人はとばしてもいいでしょう）


【互除法の原理の証明】

２つの整数aとbの最大公約数をＧとおくと、a=a'Ｇ，b=b'Ｇ(a'とb'は互いに素(注))とおける。
（注；互いに素とはa'とb'の公約数が1以外にはないということ。）
同様に、bとrの最大公約数の最大公約数をＧ'とおくと、b=b''Ｇ'，r=r'Ｇ'となる。

このことを以下の①～③で利用して考えてみる。

① aをbで割ったときの商をq，余りをrとすると、a=bq+r (0≦r　 r=a-bq となる。
　ここで、２つの整数aとbは、a=a'Ｇ，b=b'Ｇとおけるから、
　 r=a'Ｇ-b'Ｇq=(a'-b'q)Ｇと表せる。

　すなわち、r=r'Ｇ'であることから、ＧはＧ’の約数である。

② b=b''Ｇ'，r=r'Ｇ'より、a=bq+r=b''Ｇ'q+r'Ｇ'=(b''q+r')Ｇ'となる。

　すなわち、a=a'Ｇ であることから、Ｇ’はＧの約数である

③ ①と②が同時に成り立つので、Ｇ＝Ｇ’である。

以上のことをもう少し簡単に表現すると、aをｂで割ったときの余りrは、aとbの最大公約数を因数にもつ。言いかえると

『aとbの最大公約数はbとrの最大公約数と考えてよい。』ことがわかります。


この証明は、いわゆる｢必要十分条件｣という考え方から導かれる証明法で、なかなか説明して理解させるのに苦労します。しかも、aやらbやらたくさんの文字を使用するので、読むのさえ苦労することでしょう。



それでは３００７と１６４９の最大公約数をユークリッドの互除法を使って求めてみましょう。！！とてもじゃないけれど最初にしたように２つの数のそれぞれの約数を並べて比較するなんて大変ですよね？ユークリッドの互除法（先人の知恵）のありがたさをつくづく感じてしまいます．．．

（答えは９７となります。）



↑の文章が理解できないという人は、↓にわかりやすい説明を載せました。２数を割られる数、割る数とすると、


割られる数÷わる数＝あまり①
わる数÷あまり①＝あまり②
あまり①÷あまり②＝あまり③
あまり②÷あまり③＝0

あまり③が最大公約数。


つまりはこういうことです。

Ｑ，Ｅ，Ｄ

弦の性質 （12／4）

昨日の記事についてだけど、142857というようなかけると数がずれていくような数をダイアル数というようです。
自分も勉強になった・・・(●´_ゝ`)

ほかにもこのような数は、他に0588235294117647（頭に0を付けた方が効率が良い）、052631578947368421、0434782608695652173913等があるんだって。

（実際には自分でやってね。めんどいんで。）


たしかにおもしろいけれども、
こう言うことを研究してる人って・・・・・・
ちょっとさすがにひきますね。これは。

話はそれますが何で僕がこんなにも数学が好きになったかというとね、まあ、算数が得意だったという事もあるだろうけど僕が小6の時に方程式を使う文章題を解いてたんすよ。とはいっても方程式を使わずに鶴亀算とかニュートン算とかを使って解くやつね。
それは式を組み立てるのも文章の意味を考えなければならなく、
難しいだよね。で、僕も全然正答率が悪くて、あんまりできなかったんです。それでまあ、そういうのはできないけど来年中学だし、予習すっか。ってことで予習してたんですよ。まず、正負の数の加減乗除でつまずきましたね。
。マイナスを引くってどういうことよ！?ﾊｧ?
何でマイナスかけるマイナスがプラスなんだよ！？
ふざけんじゃね～！！
って感じで・・・・・

こういうのは単純にマイナスかけるマイナスはプラス。
理由？そんなのそうなるからにきまってんだろ！というように
理由を考えなければ簡単にマスターできただろうけど、そういうのはきにくわなくてね。まあ、その後は頑張って意味を理解できたんだけど、その後の文字式は大丈夫だったね。で、その次の方程式なんだけれども、



「すげ～！！！！やべぇ、ちょｗ
なにこれｗｗ考えた人天才ｗｗｗｗ」


感動しました。今までにないくらい。苦労して頑張っても解けない問題が、機械的な単純作業をするだけで答えが求められる・・・・・。このことがあってから僕は数学好きになったね。
その後はだいたいスムーズに行ったし、わからないところは数学掲示板で質問したりして予習してたら（ほとんど趣味だけど）いつのまにか今では問題集には因数分解の文字がｗｗ
「ちょｗやりすぎたｗｗ」
とか思ってたけどおもしろくてやめられなかったね。
でも、今は複雑な因数分解ができなくてつまづいているんだけども・・・・だれか、4x^2＋16ｘ＋9の因数分解のやり方教えてください！


で、まぁ最近数検を受けるようになって、4級にうかりました。
来年の四月にもまたあるんですけどそこでは3級か準2級を受けたいとおもってるところです。



・・・とまあ、話がそれてしまったんですけども、

弦の性質です。弦。
まず、弦とはなにか？というと、「円周上の2点を結ぶ線分」です。つまりは円周のどこか２つの点を結ぶ線ね。
で、何がいいたいかというと半径や円周とかの長さを知らなくても
その円の中心を求める事ができるんです。どんな円でも。
定規とコンパスさえあれば。
（ちなみに、数学でいう定規は定規で長さを測ったり角を使ったりする事はしてはいけないというルールがあるんです。常識ですが）
どうするかというとまず長さなどはどうでもいいので
弦をひきその弦の垂直二等分線を引く。
するとそれは必ず直径となるんですよ。
これで直径が求められる。
直径とその垂直二等分線は中心で交わるのでそこが中心。


・・・そんなの知ってるしｗとか言う人がいるでしょうが、
僕は最近までその事を知りませんでした・・・。
でも、これも考えてみると面白買ったので紹介してみました。
だってコンパスと直線をひくための定規さえあればどんな円でも中心が求められるんですよ?なんかこれもすごくないですか?


まあ、そういう事で今回は終わり。
（あと、コメントありがとね）


Ｑ，Ｅ，Ｄ

1÷7の不思議 （12/3）

では、今日は1÷7の不思議に紹介しますんで。

まあ、この話は図書館でみた本に載っていた話なんですがね、これは数学嫌いでもおもしろい話だと思うよ。


まず、1÷7について考えてみるわけだけど。
計算すると1／7（ななぶんのいち）になるわけですが・・・・
これを小数に直します。
すると0.14285714285714285714285714285714285714・・・・・
まあ、こんな感じになるわけね。
まあ、割り切れないね。でもこれはもうわかると思うけど、
「142857」、この部分が「循環」しているわけね。永遠に。
（こういう数を循環小数といいます）
永遠にだよ?
1万桁だろうが1億桁だろうが1京桁だろうがいくら求めても「142857」が続くわけ。
簡単に永遠とか言ってるけど考えてもみてよ。すごくない？

ああ、あとちなみに1／8とか1／50とかみたいに小数に直すと割り切れるやつ（0.125、0.02）を有限小数、
逆に今回みたいなやつを無限小数って言うからね。参考までに。



こういうところも数学の面白さの一つなんだよね～。
でもまだこれだけじゃないんだよ。
これにはまだ面白さがあって、142857という数。
とりあえずこれに1～10までの自然数をかけることにします。
（理由は聞かないで）
すると、



142857×1＝142857
142857×2＝285714
142857×3＝428571
142857×4＝571428
142857×5＝714285
142857×6＝857142
142857×7＝999999
142857×8＝1142856
142857×9＝1285713
142857×10＝1428570


さあ、おわかりだろうか？この数の面白さをあなたは見つけることができたかな?
何が面白いかというとだね、

まずは、1から6をかけた数は全て142857で構成されてる事！しかも順番は同じ。つまりどういうことかというと×2をしたときの数、
285714は十の位が「1」、一の位が、「4」十万の位が、「2」
一万の位が「8」千の位が「5」百の位が「7」、他も×3とか4も
すべて１４２８５７で構成されてるってこと。


×7は？というとこれは単純に9が並んでいるこれだけ。
×8もまあ・・・惜しいね1142856、これも面白いでしょう。
×9はというと・・・これはどこも面白いところはない・・っすね。
（面白いところ見つけた人はおしえてください・・）
×10もまあ1428570、おしい！

とまあこんな感じなんだけど、、、

めっちゃすごくね？

僕が初め見たときは
「うはｗなにこれｗみつけた人すごすぎだろｗｗｗ」
と、興奮してしまいましたねぇ。不覚にも。


それに加えまだあるんですけど、

142857、それぞれの桁の数を円のように並べると
（ＰＣでは上手く表現できないです・・・ｻｰｾﾝ）
となるんだけど、それぞれ向かい合ってる数を足すと全て９になるんだよね。これがまた。
1＋8＝9、4＋5＝9, 2＋7＝9
ま、こういうことです。


さて今回の１÷7の話はどうだったでしょうか？
面白くないですか?数学の世界にはこういうような面白い数の性質がまだあるはずです。
今回ので少しでも数学が面白い、数学が面白そうと感じてもらえれば幸いです。

では。

Ｑ，Ｅ，Ｄ，

数の誕生(12/2)

じゃあ、早速今日から紹介していきたいと思います。
まずは数の誕生について、ということなんだけどもね。
小学校では最初に1,2,3、などの小さい自然数（正の整数ね）の加法減法（足し算引き算）を習ったと思うけど
1とか2ができたのは文明が発展する頃より前だろうね。
狩りとかしてた様な時代にはもうすで自然数の加法減法の概念はあったでしょう。
なぜなら狩ってきた動物や採ってきた農産物とかを数える時に使うからだね。
それで、まずなつかしい文章題で説明するけれども、

「A君が2個キノコを取ってきました。B君は4個キノコを取ってきました。二人で合わせて何個キノコを取ってきたでしょう？」

・・・・まあこれは言うまでもないけど6個なんだけども、
これをどう解いたかっつったら、2＋4＝6だよな。
こういうことで人間は加法を覚え、次に
「B君はA君より何個多くとってきたか？」
つったらこれは6－4＝2で２個っすね。
と言う事で減法を覚えた。

で、次に「じゃあ、B君はA君の何倍とってきたのよ？」
つったら4÷2＝2で２倍となる。

で、ここまではさ全部自然数の範囲で答えが出ているけれども、
B君が5個だとしたらどうすんの？ってことなんだよね。
5÷2＝？これは自然数の中では答えが見つからない。じゃあ作っちまおうゼってことで5/2（2.5）作っちゃいました。分数（小数）を。
で、はたまたあるときAが5個、Bが8個、じゃあAはBより何個多い?
さっきのやり方で行くと式は5－8＝？
これも自然数の範囲で答えが見つからない。じゃあまた作っちまおうゼってことで-3作っちゃいました。負数を。これでだいたいの計算はできるようになりました。


（ああ、あと、言っておきますけど狩りをしていた時代に有理数や負数ができたわけじゃないですからね。あくまでも例として出しただけですんで勘違いをしないように・・・・・・・）

・・・・で結局何がいいたいかというと数は時ともに作られていったってことね。
（ちなみに自然数とか負数とか分数｛小数｝とかをひっくるめて有理数っていうのでこれは覚えるべき！）

まあ、今日のはつまらないだろうけど初めってことでまず基礎からね。まだまだ面白いネタはあるんでね。次をお楽しみに。次はすごいですよかなり。


あと、質問とかはコメント欄にしていいんでね、できる限りお答えするよう頑張りますわ。




Ｑ，Ｅ，Ｄ，

ﾏﾀｰﾘ主義でいきますか。(12/1)

とりあえずここどういう主旨で作ったのよ？ということですが、数学に間する事を紹介、疑問相談、雑談etc・・・・・
後、それだけじゃつまらないから日常の出来事とかも入れながらね。あ、ちなみに目的は数学好きを増やす事ね。
（あと、投稿した記事で自分自身も勉強していくってことも）
数学に関する事を紹介していくわけですけども、、、基礎の基礎とか言う内容もねあると思うんで知ってるというより常識だろみたいなとこもあるはずですがそこは気にせずに、、、


まあ、初めに数学のどこがおもしろいのよ？つったらそりゃあ、
数式の美しさだったり図形の性質だったり素数の性質だったりグラフの変化だったり・・・・・まあ、色々あるわけですよ。
まあでも数学嫌いってのはそういう数学の「美しさ」をまだ知らないんだろうねぇ。数学っていうのはわかれば絶対面白いもんなんだけどね・・・・。まあ、僕が実際に言われた事がある言葉なんですけど、

「数学ってさ、将来つかわねえじゃんｗｗｗｗ」

な～んてことを言われたわけよ。でもそこで思ったのが

「確かに使わねえや。」

そうです。たしかに使いませんとも。数学者とか株をする人とか公認会計士とか測量士とかごく一部の人しか使わないといって間違いないだろうね。
（なんか株価の変化に微分を使うらしいよ。微分についてはグラフの傾きを求めると言うような事ぐらいしか知らんけど。）

でもさ、学問って言うのはそういう事じゃないと思うんだよね。
（高校とかでは具体的な職業について専門的な事をするんだろうけど）で、そういう事を言った人がいるんだけどそれがこれよ↓↓


あるノーベル科学賞を受賞した学者の講義のなかで、
このような質問があった。
---「宇宙が誕生した3秒後の姿を知ることが、
人類にとってどのような意味があるのですか？」
学者はこう答えた。


---「そうじゃない！
意味はない。意味を求めたところで何になる。
自分の利益や役に立つことばかりを考えてはいけない。
ただ知りたいから知る。それが科学だ。」


・・・・・・「かっけぇ」初め見たときはそう思ったね。僕は。（もっとも、これは物理学者の小柴昌俊さんの言葉だけどね。）
まあ、科学とはなっているけど数学と置き換えて読んでもいいでしょう。

まあ、なんかまとまりのない文章になってしまったけど、僕が言いたい事はね、
数学は役に立つとかたたないとかそういう事を気にしちゃダメなんだよ！！って事。



Ｑ．Ｅ．Ｄ．