数学好きの数学好きによる数学好きとそうじゃない人のためのページ

移転

http://yaplog. jp/nichijou-blog

おかしな問題

「クレタ人は嘘つきだ」と、クレタ人が言った。
クレタ人は嘘つきだろうか？

あるところに一億粒の砂からなる砂山がある。
その砂山から一粒砂を取ってもそれは依然として砂山のままである。→前提
そうして、砂を取っていく。
では、そうしていって最後に残った一粒の砂を砂山と呼べるか？

「私は今嘘をついている。私は嘘つきか？正直者？」

「19文字以内で記述できない最小の自然数」はなにか？
（↑の文章の文字数に注意）

あるところにアキレスと亀がいて、二人は徒競走をすることとなった。しかしアキレスの方が足が速いのは明らかなので亀がハンデをもらって、いくらか進んだ地点（地点 A とする）からスタートすることとなった。

スタート後、アキレスが地点 A に達した時には亀はアキレスがそこに達するまでの時間分先に進んでいる（地点 B）。アキレスが今度は地点 B に達したときには亀はまたその時間分先へ進む（地点 C）。同様にアキレスが地点 C の時には亀はさらにその先にいることになる。この考えはいくらでも続けることができ、結果、いつまでたってもアキレスは亀に追いつけないことになる。

この文のどこが間違っているのか？

ある3人が食堂で食事をし、1人1000円ずつ合計3000円を払ったが店主が料金をサービスし、給仕に対し3人に500円を返すように命じた。しかし給仕は3人に対して500円を返したのでは均等に分けることができないため、その500円から200円をこっそり盗んで自分のふところに入れ、均等に分けることのできる300円だけ客に返した。300円を返してもらったから客3人が、それぞれ支払った金額は1000円から100円差し引いた900円になり、合計すると2700円になる。それに給仕が盗んだ200円を加えると2700 + 200 = 2900円となるが、差額の100円はどこにいったのだろうか？

タイムマシンに乗って自分が生まれる前に戻り、自分の親を殺したらどうなるか？

全能者は自ら全能であることを制限し、全能でない存在になることができるか

これは物体の運動に関するものである。矢が飛んでいる様子を考えよう。ある瞬間には、矢はある場所に位置している。僅かな時間だけに区切って見れば、矢はやはり少ししか移動しない。この時間をどんどん短くすれば、矢は動くだけの時間がないから、その瞬間だけは同じ場所に留まっているであろう。次の瞬間にも、同じ理由でやはりまた同じ場所に留まっているはずである。こうして矢は、どの瞬間にも同じ場所から動くことはできず、ずっと同じ場所に留まらなくてはならない。従って、飛んでいる矢は止まっている。
この文のどこか間違っているのか？

答えは自分で探してください。

普通にいい曲↓

わりきれるかどうか

どうも、最近調子が悪いです。特にのどが痛いです・・・・(ーー;) で、「わりきれるかどうか」というテーマなんですが、どういうことかというとたとえば自然数51554は3でわりきれれるか？自然数968646は8でわりきれるか？見分けるにはどうすればいいか？ということです。まず、はじめに2の倍数の見分け方からいきますがこれは言うまでもないですね。その自然数の一の位の数字が2の倍数かどうかを見ればわかります。一の位の数字が2の倍数の自然数は10ｍ＋2ｎとあらすことができる。（ただしｍ、ｎは非負数、で、ｎ＜4） 10ｍ＋2ｎ＝2（5ｍ＋ｎ）よって2の倍数ということがいえる。 3の倍数の見分け方は「各桁の数字の和が3の倍数」であるかどうかです。簡単に3桁の自然数で考えると、自然数は100a＋10ｂ＋ｃとあらわせる。（ただし、a、ｂ、ｃ、は非負数で9以下）この式は、 100a＋10ｂ＋ｃ＝（99a＋a）＋（9ｂ＋ｂ）＋ｃ＝99a＋9ｂ＋a＋ｂ＋ｃ＝3（33a＋3ｂ）＋（a＋ｂ＋ｃ） 3（33a＋3ｂ）は3の倍数ということがいえるので、a、ｂ、ｃ、の和が3の倍数ならば100a＋10ｂ＋ｃは3の倍数ということがいえる。 4の倍数の場合は、下二桁の数字が4の倍数ならばその数自体も4の倍数だということがいえる。下二桁の数字が4の倍数3桁の自然数は、 100a＋10b＋c ＝4×25a＋10ｂ＋ｃと変形できる。 10ｂ＋ｃ＝4ｎ、つまり下二桁が4の倍数ならば 4（25a＋ｎ）と変形できるので、下二桁の数字が4の倍数の自然数は4の倍数だといえる。 5の倍数の場合は一の位が5か0の時、その数は５の倍数だと言える。一の位が5の３桁の自然数 100a＋10ｂ＋5と表せられる。 100a＋10ｂ＋5 ＝5（20a＋2ｂ＋1）と表せられるので一の位が5の自然数は5の倍数だということがいえる。一の位が0の３桁の自然数 100a＋10ｂと表せられる。 100a＋10ｂ＝5（20a＋2ｂ）と表せられるので一の位が0の自然数は5の倍数だということがいえる。 ※なぜか改行ができないんですよね。見づらくてすいません。

数学動画

http://www.hyuki.com/girl/comic.html
↑
コミック買いました。

あと、リンク修正しました。

数学動画紹介↓

数学ガール（かなりかっこいい！）

数学ガール（「おすぃえて」って聞こえます）

「中学数学」組曲

↓Ackeyさんの動画（ファンです）

因数分解の唄～恋のx^2-5x+6伝説～

自然対数の底の唄～eに想いを馳せて～

複素数の唄～－1への鎮魂歌～

不完全性定理の唄～ウソつきな私～

http://d.hatena.ne.jp/video/niconico/sm1901435

円周率の唄～3.14完全復活を祝して～
（これをみてライプニッツ級数とバーゼル問題いうのを知り感動しました。数学ガールにも載っていましたね。）

初音の愛した数式の唄～二次試験への現実逃避～
【ニコニコ動画】【初音ミク】初音の愛した数式の唄～二次試験への現実逃避～

円周率の唄～3.14完全復活を祝して～
【ニコニコ動画】【初音ミク】円周率の唄～3.14完全復活を祝して～

自然対数の底の唄～eに想いを馳せて～（納豆Remix）
【ニコニコ動画】【初音ミク】自然対数の底の唄～eに想いを馳せて～（納豆Remix）

エン（いい歌です）
（Ackeyさんのではないです）
【ニコニコ動画】【初音ミク】【鏡音リン・レン】エン【オリジナル】

ショック・・・

これは自分に対しての文章です。
今日思ったことを忘れないようここに記します。

今日、自分は「数学を何も理解いない」って事がわかりました。
（いままで勉強してきた範囲の）

自分は数学が大好きだし、面白いとも思うし、得意でもある。
これは間違っていないんですけど

「今まで学んだ数学を本質的に理解しているか？」

と言われると、自分は今まで学んできた、無限に続く数学の世界の入り口の扉のドアノブについた手垢以下の数学、のことさえ何も理解していないと思うんです。

だいたい、
「数学とは何か」
「数学の内容を理解するとはどういうことか？」
ということさえわからないです。
それどころか僕は算数の事でさえ何も知らないと思うんです。

理解してないことをほったらかしにするのはだめだとよくいいます。でも、理解するとはどういうことなんでしょうか?

テストで100点をとったら理解しているといえるか？
それを応用したどんな難しい問題でも解けるようになる事を理解したといえるか？

例えば、分数＋分数なんですが
5分の1というのは５つあるりんごのうちの１つ分のりんごをさす。
２分の1というのは２つあるりんごのうちの１つ分のりんごをさす。

それらをたすということは答えは7つあるりんごのうちの2つ分、
つまり、７分の2となる。

↑これのどこが間違っているのかはっきりいってわかりませんでした。実際には１０分の７になるわけですが不覚にも納得してしましました。

数学ガールにも書いてありましたが、
「わからないことを《わからない》ということは正しい事だ。馬鹿なのはわかっていないのに《わかったふり》をする人のほうだ。」
あと、ソクラテスの「無知の知」、「知の無知」と言う言葉も
あるとおり、自分は

「わかっているようでわかってないことがわかりました。」

なんか、全然なにが言いたいかまとまってない文章になってしまいました・・・・。文章力のなさを痛感します・・・

まあ、とりあえずはそういうことがあったってことです。

Ｑ，Ｅ，Ｄ，

四色問題

これは数学と関係あるかどうかわかりませんが、四色問題と言うのを紹介してみます。

（あと、来訪者400突破）

四色定理（ししょくていり／よんしょくていり）とは、いかなる地図も、隣接する領域が異なる色になるように塗るには4色あれば十分だという定理である。但し飛び地のような領域は考えない。実際の行政区分で飛び地があったとしても飛び地とその飛び地の所属する本国は関連せず、別の色であってもよいとする。解決前は四色問題と呼ばれており、未解決の期間が長かったため現在でも四色問題と呼ばれることがある。

（ウィキペディアより引用）

まあ、どんな地図でも、四色在れば塗り分ける事ができる。
ってことですよ。証明はなにやらコンピューターで膨大な資料を分析して反例がないのを示したとか。なにやらそんな感じらしいです。

もううちの学校は冬休みです。早いもんですね。
もうすぐ2009年。

数学予習は相似まで進みました。
基本、うちらは予習ばかりしてますね。完璧に理解するまで予習・・・・・

冬休み終了までには中学数学を卒業したいとこです。

Q，E，D，

同じ誕生日

これはかなり有名な話ですが取り上げてみます。

（同じ時期の場合）

1～12 月をそれぞれ上旬/中旬/下旬に分けることで一年を全部で 36 の期間に区切ったとき、n 人中、同一期間の誕生日のペアがいる確率。

まず、「n 人中、同一期間の誕生日のペアがいる」が起こらない確率、すなわち "n 人全員が異なる時期の誕生日である確率" を考える。

2 人目が 1 人目と異なる時期の生まれである確率は残りの 35 の期間のうちのどれかであれば良いので、

2人が異なる時期の誕生日である確率は 35/36
となる。さらに 3 人目が前の 2 人と異なる時期の生まれである確率は残りの 34 の期間のうちのどれかであれば良いので、

3人全員が異なる時期の誕生日である確率は（35/36 ）× （34/36）
となる。同様に、

4人全員が異なる時期の誕生日である確率は（35/36）×（34/36） × （33/36）
:
n人全員が異なる時期の誕生日である確率は（35/36）×（34/36 ）×（ 33/36 × ... × (36 +1 -n)/36
これを 1 から引けば、"n 人中、同一期間の誕生日のペアがいる確率" となる。

1人 : 0
2人 : 0.02777777777777779
3人 : 0.08179012345679004
4人 : 0.15830761316872421
5人 : 0.25182898948331045
6人 : 0.3557416298328506
7人 : 0.46311802486070885
8人 : 0.5675117422489044
9人 : 0.6636202439713701
10人 : 0.7477151829785276
11人 : 0.8177942988178255
12人 : 0.8734682630679343
13人 : 0.9156455087119563
14人 : 0.9461068527881943
15人 : 0.9670652989261187
16人 : 0.9807880910402359
17人 : 0.9893267172445755
18人 : 0.9943668785457482
19人 : 0.9971834392728741
20人 : 0.9986699574344128
21人 : 0.9994088699708501
22人 : 0.9997536958211876
23人 : 0.9999042150415729
24人 : 0.9999654109872347
25人 : 0.9999884703290782
26人 : 0.9999964770449962
27人 : 0.9999990214013878
28人 : 0.9999997553503469
29人 : 0.9999999456334104
30人 : 0.9999999894287187
31人 : 0.9999999982381198
32人 : 0.9999999997552944
33人 : 0.9999999999728105
34人 : 0.9999999999977343
35人 : 0.9999999999998741
36人 : 0.9999999999999966
37人 : 1
11 人集めれば 8 割の確率で同一期間の誕生日のペアがいることになる。

37 人集まると必ず一組は同一期間の誕生日。(期間が 36 しか無いので当然。)

同じ誕生日のペアがいる確率
とりあえず、一年の日数を 366 日として計算。計算方法は前項と同じで、36 が 366 になっただけ。

35 人集めれば 8 割の確率で同一誕生日のペアがいる。

1人 : 0
2人 : 0.002732240437158473
3人 : 0.008181791035862584
4人 : 0.016311448486388324
5人 : 0.02706214303844956
6人 : 0.04035364381661288
7人 : 0.05608555129502901
8人 : 0.07413855987681816
9人 : 0.0943759684041009
10人 : 0.11664541180400001
11人 : 0.1407807830661858
12人 : 0.16660431144397802
13人 : 0.19392876024909356
14人 : 0.2225597059233061
15人 : 0.2522978592486441
16人 : 0.2829413896073062
17人 : 0.31428821410534746
18人 : 0.34613821508952536
19人 : 0.37829535205233555
20人 : 0.4105696370550831
21人 : 0.442778946505625
22人 : 0.4747506462962858
23人 : 0.5063230118194599
24人 : 0.5373464291094938
25人 : 0.5676843681842811
26人 : 0.5972141244558466
27人 : 0.625827328729475
28人 : 0.6534302307084481
29人 : 0.6799437649711898
30人 : 0.7053034120089916
31人 : 0.7294588700410416
32人 : 0.7523735559118823
33人 : 0.7740239553949963
34人 : 0.7943988446626606
35人 : 0.8134984055409927
36人 : 0.8313332574701328
37人 : 0.8479234288665132
38人 : 0.86329728988274
39人 : 0.8774904674358981
40人 : 0.89054476188945
41人 : 0.9025070829944281
42人 : 0.9134284206917735
43人 : 0.9233628642189471
44人 : 0.9323666807178139
45人 : 0.9404974622708636
46人 : 0.9478133480572328
47人 : 0.9543723261702582
48人 : 0.9602316176183399
49人 : 0.9654471431765903
50人 : 0.9700730720955715
51人 : 0.9741614502245918
52人 : 0.9777619038818207
53人 : 0.980921414805715
54人 : 0.9836841607491498
55人 : 0.9860914157205867
56人 : 0.9881815035221378
57人 : 0.9899897980651987
58人 : 0.9915487639402908
59人 : 0.9928880308568567
60人 : 0.9940344958280192
:
367人 : 1

計算めちゃくちゃがんばりました・・・(ーー;)
電卓で・・・・・・

でも、結構意外ですよね。
一年は閏年の時も含めると366日あるのにその七分の一の50人いるだけで97パーセントを超えるという・・・・・・

今日はここまで。

Ｑ、Ｅ、Ｄ

二次方程式の解の公式（修正版）

結城さん＞ご指摘ありがとうございます(・・;)

全部直すのも面倒なんで解の公式だけもう一度やります。・・・ｻｰｾﾝ
二次方程式の一般式
　　　　ax2＋bx＋C＝0
a｛X2＋(b/a)X｝＋C＝０　　・・・aで括る。
a{X＋(b/2a)}^2―（b2/4a^2)}＋C＝0　　・・・平方完成
a{X＋(b/2a)}^2＝(b/4a)－C　　・・・移項
｛X＋(b/2a)}^2＝(b/4a^2)－C/a　　・・・両辺を÷a
｛X＋(b/2a)}^2＝(b－4aC)/4a2　　・・・右辺を計算
X＋(b/2a)＝±√{(b－4aC)/4a2}　　・・・二乗を外す
X＋(b/2a)＝±√(b－4aC)/2a　　・・・右辺を計算
X＝－b±√(b－4aC)/2a

カッコがめんどくさかった・・・・・

まあいいや。

Q、E、D

二次方程式の解の公式

平方完成及び絶対値更に判別式

どうも今日は解の公式についてです。

一次方程式は簡単ですけど移項がめんどくさいですよね。
一方、二次方程式は複雑ですが解の公式という便利なものがあります。

（一次方程式にも作ればできますが）
ａｘ＋ｂ＝ｃｘ＋ｄ
(a-c)x=d-b
x=(d-b)/(a-c)

ただし、a-c≠０、

まあ、これに代入するよりは移項するほうが簡単ですけどね。

2次方程式の解の公式を導くには次のようにします。これには
　　　　　a2=b　⇔　a=±√b　　　　　・・・☆
という事実を用います。これ自体は因数分解
　　　　　a2-b=a2-(√b)2=(a+√b)(a-√b)
を用いて示されます。
さて話を戻して、実際に2次方程式 ax2+bx+c=0 を解いてみましょう。
これ（ax2+bx+c=0 ）は明らかにあらゆる2次方程式を表しているので（表し得るので）この解を求めればそれが解を求める公式になります。

まず2次方程式であることから a≠0 は前提とされているので両辺を a で割ることができ、

ax2+bx+c=0　⇔　x2+(b/a)x+c=0

次にちょっとしたテクニックなのですが、この左辺の一部を次のように平方完成の形と定数に分けます。

⇔　x2+(b/a)x+(b/2a)2+c-(b/2a)2=0　⇔　{x+(b/2a)}2=(b2-4ac)/4a2

よって☆を用いて

⇔　x+(b/2a)=±√{(b2-4ac)/4a2}=±√(b2-4ac)/2a　⇔　x={-b±√(b2-4ac)}/2a

となりこれが解の公式となります（変形がすべて同値変形であることに注意してください。）。

発展？
さて実は上の式変形において実は ±√{(b2-4ac)/4a2}=±√(b2-4ac)/2a　の部分に少しごまかしがあります。
それは a が負の時は √a2≠a だからです。
一般に次が成り立ちます。

　　　　　・ a＞0 のとき√a2=a
　　　　　・ a＜0 のとき√a2=-a

となります。これは具体的な数で試してみればすぐに分かります。
では先程の変形はインチキなのでしょうか？いいえ、インチキではありません。説明を省略しただけです。
なぜならば ±√(b2-4ac)/2a であろうと ±√(b2-4ac)/(-2a) であろうと
符合の順番さえ気にしなければ（そしてこの場合は気にしなくて良い）結局両方とも、（いわば最初の " ± " に吸収される形で）
±√(b2-4ac)/2a と書けるからです。

ところでもう一度

　　　　　・ a＞0 のとき√a2=a
　　　　　・ a＜0 のとき√a2=-a

を見てください。そして絶対値について次が成り立つことを思い出してください。

　　　　　・ a＞0 のとき|a|=a
　　　　　・ a＜0 のとき|a|=-a

これらを比べると結局

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　√a2=|a|

が分かります。このことは表現を簡略化するときなどにたまに使うのでまあ、頭の片隅にでも置いといてください。

発展
話を戻して解の公式を導くときに2次式を

　　　　　　　　　　　　　　　　　（もとの2次式）=（ｘに関する式）2+（定数）

の形にしたことをもう一度見てみます。確か実数の平方は負でない（0以上である）のでした。
といことは、これだけで自動的に x が実数ならば

　　　　　　　　　　　　　　　　　（もとの2次式）=（ｘに関する式）2+（定数）≧（定数）

が言えます。上の式で右辺と左辺の "（定数）" は同じものです。
ですから、例えば次の様なことがいえます。

　　　　　　　　　　　　　　　　x2+x+1=x2+x+(1/2)2+3/4≧3/4

よって x が実数ならば
　　　　　　　　　　　　　　　　x2+x+1≠0

もいえます。よって

　x2+x+1=0 の解は実数の範囲にはない（実数解は存在しない）

ことが分かります。さて、これを一般にax2+bx+c=0でやってみると　
　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　ax2+bx+c≧-(b2-4ac)/4a2

となります。よって右辺（-(b2-4ac)/4a2）が少なくとも 0 以下でなければ方程式ax2+bx+c=0には実数解が存在しないことが分かります。
4a2 はもともと正なのでここで重要なのは b2-4ac の符合です。これを D とおきこの2次方程式の判別式と呼びます。
今述べたことから少なくとも D≧0 でなければ方程式は実数解を持ちません。また逆にD≧0 ならば実数解を持つことも容易に分かります。
これは解の公式から直接示すことが出来ます。

以上です。

Ｑ，Ｅ，Ｄ，

数学の書籍

今日は、うちの学校で新しく書籍が入ったんですよ。
それで、僕が、「ユークリッド原論」なるものを頼んだんですよ。

５７００￥もするもので、、、、

それで、まあ、それと他にも2冊数学の本を借りました。

この本もいつか返さないといけないので、ここにあとで自分で調べるキーワードをメモっときます。

誕生日→同じ人、確率
イブ仮説
親２＾１人、祖父母2＾2人、曽祖父母2＾3人、その次2＾４人・・・・
先祖の数
２，３，４，５，６，７，８，９、でわりきれるか判別
多角形の内角の和、多角形は複数の三角形で作られている
平方数＝四角数
1～99までの奇数の総和、101～199までの奇数の総和
平方数の性質、４＝１＋３、９＝１＋３＋５、１６＝１＋３＋５＋７
四色問題、（証明済み）
あらゆる地図を膨大なパターンに分けてコンピュータで確かめ。
素数と、合成数、双子素数、完全数

完全数→６，２８，４９６，８１２８，３３５５０３３６
1996年の時点～３３、すべて偶数、奇数の完全数はあるのだろうか？
証明はされてない

紀元前17世紀の数学書リンド数学パピルス

家が７、各家に1匹のネコ、各猫が7匹のネズミをとる。各ネズミが７穂の麦をたべる。麦１穂から７ヘカトの麦、全部で何ヘカト？

二進法
十進法
三角数
図形数
１００番目の三角数
１２進法、ダース、フィート、インチ
正多面体
正２０面体の各面の中心を結ぶと、正十二面体。
ピタゴラスの定理、ピタゴラスの３数

ピタゴラス数
↓
ｍ×ｎ、　　（m＾2－ｎ＾２）/2, (m^2+n^２)/2
ピラミッド数
魔方陣
16進法
八面体数
有心六角形数
循環小数
どんな分数も循環小数→１/2=0,499999999・・・・・
完全五方陣
三乗数
立方体数
多面体のオイラー公式→（頂点の数）＋（面の数）ー（辺の数）＝２
正多面体以外でも可。
メルセンヌ素数→2＾ｎ－１の形の素数
2＾ｎが素数ならば
２＾（ｎ－１）×（2＾ｎ－１）

ヒナギクの花びら→３４，５５，８９、が多い。
一般に花びらの数は、３，５，８，１３，２１，３４，５５，かそ
の倍数が多い。
それ以外では４，７，１１，１８、－これも法則を持っている。

フィボナッチ数列。
フィボナッチ数列の隣り合う2数の比
１/1=
1/2=0,5
2/3=0,667・・・・
3/5=0,6
5/8=0,625
8/13=0,6154・・・

黄金比と呼ばれる数→０，６１８０３４・・・・
に近づく、（収束か？）

四面体数
オイラーの幸運数
ｎ×（ｎ＋１）＋４１のｎに０，１，２，３、・・３９（最後は幸運数」４１より2小さい数）を代入した数は素数になる。
オイラーの幸運数は２，３，５，１１，１７、４１、だけ。
六角数
フィボナッチ数
60進法
ゴールドバッハ予想
４>nのとき、ｎは2つの素数の和であらわせられる
ふしぎ数
↓
自分自身を除いた約数の和がその数に等しい時は完全数
自分自身を除いた約数の和がそのかずより小さい数のことを不足数という。
大きい数のことを過剰数という。
しかし、ほとんどの過剰数は約数のいくつかを選んで加えるとその数になる（このような数を疑似完全数という。）
過剰数なのに疑似完全数にならない数をふしぎ数という。

ピタゴラスの３数で、斜辺とそのほかの辺の差が１のピタゴラスの3数は
みんな一番小さい辺の長さが奇数

一周の角を３６０にしたのは古代メソポタミア文明以来の習慣。

円周率は直径と円周の比、円に内接する多角形を使い求めることが可能。
鈍角とは90度以上の角のこと。
鋭角は90度以下